Mathematik · Analysis
Merkblatt: Funktionsuntersuchungen
Differentialrechnung · Kurvendiskussion · farbiges Lernlayout mit interaktiven GeoGebra-Grafiken
1 · Extrempunkte von Funktionen
Notwendige Bedingung\( f'(x)=0 \)
Hinreichende Bedingung
\( f''(x_E)<0 \) → lokales Maximum
\( f''(x_E)>0 \) → lokales Minimum
Y-Wert\( f(x_E)=y_E \)
GeoGebra · f(x)=x³−3x · ExtrempunkteMaximum und Minimum sind markiert
2 · Monotoniekriterium
Wenn für alle \(x\in I\) gilt:
\( f'(x)>0 \) → f ist streng monoton zunehmend in I
\( f'(x)<0 \) → f ist streng monoton abnehmend in I
Lokales Maximum\( f'(x_0)=0 \) und VZW von + nach −
→ lokales Maximum \( f(x_0) \)
→ lokales Maximum \( f(x_0) \)
Lokales Minimum\( f'(x_0)=0 \) und VZW von − nach +
→ lokales Minimum \( f(x_0) \)
→ lokales Minimum \( f(x_0) \)
3 · Krümmungsverhalten und Wendepunkt
Linksgekrümmt 🙂
\( f''(x)>0 \) (positiv)
Rechtsgekrümmt
\( f''(x)<0 \) (negativ)
Wendepunkt · notwendige Bedingung\( f''(x_W)=0 \)
Wendepunkt · hinreichende BedingungVorzeichenwechsel von \( f'' \) bei \(x_W\) → Wendepunkt W
Wichtig: \( f''(x_W)=0 \) allein reicht nicht sicher aus. Erst der VZW von \( f'' \) bestätigt den Wendepunkt.
4 · Tangentengleichung bestimmen
Gegeben / gesucht\( f(x)=\tfrac12x^2-3x \) · Gesucht: \( t(x)=m\cdot x+b \) an der Stelle \( x_0=1 \)
Ableitung bilden: \( f'(x)=x-3 \)
m bestimmen: \( m=f'(x_0)=f'(1)=1-3=-2 \) → \( t(x)=-2x+b \)
y-Wert berechnen:
\( y_0=f(x_0)=f(1)=\tfrac12\cdot1^2-3\cdot1=-2{,}5 \) → \( T(1\mid -2{,}5) \)
\( y_0=f(x_0)=f(1)=\tfrac12\cdot1^2-3\cdot1=-2{,}5 \) → \( T(1\mid -2{,}5) \)
b bestimmen (Berührpunkt in \(t(x)\) einsetzen):
\( -2\cdot1+b=-2{,}5 \) → \( b=-0{,}5 \)
\( -2\cdot1+b=-2{,}5 \) → \( b=-0{,}5 \)
Berührpunkt\( T(1\mid -2{,}5) \)
Steigung der Normalen\( m_{\text{Nor}}=-\dfrac{1}{m_{\text{Tan}}} \)
Interaktive Grafik · Tangente und Normalegleiche Skalierung: die Normale steht wirklich senkrecht
\(x_0\)
5 · Mitternachtsformel (abc-Formel)
Für \(ax^2+bx+c=0\)\[ x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Diskriminante \(D=b^2-4ac\)
\(D>0\) → zwei Lösungen
\(D=0\) → eine Lösung (Doppelwurzel)
\(D<0\) → keine reelle Lösung
6 · Ableitungsregeln
| Regel | Funktion \(f(x)\) | Ableitung \(f'(x)\) |
|---|---|---|
| Potenzregel | \(x^n\) | \(n\cdot x^{n-1}\) |
| Faktorregel | \(a\cdot u(x)\) | \(a\cdot u'(x)\) |
| Summenregel | \(u(x)+v(x)\) | \(u'(x)+v'(x)\) |
| Produktregel | \(u(x)\cdot v(x)\) | \(u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\) |
| Quotientenregel | \(\dfrac{u(x)}{v(x)}\) | \(\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}\) |
| Kettenregel | \(u(v(x))\) | \(u'(v(x))\cdot v'(x)\) |
7 · Besondere Ableitungen
| Funktion \(f(x)\) | 1. Ableitung \(f'(x)\) | 2. Ableitung \(f''(x)\) |
|---|---|---|
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
| \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) |
| \(\tan(x)\) | \(1+\tan^2(x)\) | \(2\tan(x)\cdot(1+\tan^2(x))\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) |
| \(\log_a x\) | \(\dfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\) | \(-\dfrac{1}{x^2\cdot\ln(a)}\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot\ln(a)\) | \(a^x\cdot(\ln(a))^2\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(e^x\) |
8 · Asymptoten bei gebr.-rat. Funktionen
Waagrechte oder schräge Asymptote / Verhalten im Unendlichen
Fall 1
\( f(x)=\dfrac{4x^3}{5x^6+x^3-3} \)
Zählergrad 3 < Nennergrad 6
\(y=0\)
\(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0\)
\(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0\)
→ x-Achse ist Asymptote
Fall 2
\( g(x)=\dfrac{5x^2+1}{(x-1)(x+1)} \)
Zählergrad 2 = Nennergrad 2 (Z = N)
\(y=\tfrac51=5\)
\(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=5\)
\(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=5\)
→ Parallele zur x-Achse
Fall 3
\( h(x)=\dfrac{2x^2-x+4}{x-1} \)
Zählergrad 2 = Nennergrad 1
\(y=2x+1\)
\(\lim_{x\to\infty}h(x)=+\infty\)
\(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\)
\(\lim_{x\to\infty}h(x)=+\infty\)
\(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\)
→ schräge Asymptote
| Vergleich der Grade | Asymptote |
|---|---|
| Zählergrad < Nennergrad | \(y=0\) (x-Achse) |
| Zählergrad = Nennergrad | waagrechte Asymptote \(\displaystyle y=\frac{a_n}{b_n}\) |
| Zählergrad = Nennergrad + 1 | schräge Asymptote (Polynomdivision) |
9 · Symmetrie
Immer zuerst \(f(-x)\) bilden: \(-x\) in \(f(x)\) einsetzen, vereinfachen und dann prüfen, ob als Ergebnis \(f(x)\) oder \(-f(x)\) herauskommt.
Achsensymmetrie zur y-Achse — Spiegelung
\( f(-x)=f(x) \)
Punktsymmetrie zum Ursprung — Drehung um 180°
\( f(-x)=-f(x) \)
10 · Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel
Funktionsterm muss vollständig gekürzt vorliegen. Die Ordnung einer Polstelle gibt die Vielfachheit der zugehörigen Nullstelle des Nennerpolynoms an.
Definitionsmenge (Beispiel)\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
1. Ordnung (ungerade)\( f(x)=\dfrac{x+1}{x-2} \)
Polstelle mit VZW bei ungerader Ordnung
Polstelle mit VZW bei ungerader Ordnung
2. Ordnung (gerade)\( g(x)=\dfrac{x+1}{(x-2)^2} \)
Polstelle ohne VZW bei gerader Ordnung
Polstelle ohne VZW bei gerader Ordnung
Mit VZWungerade Ordnung
Ohne VZWgerade Ordnung
11 · Die mittlere Änderungsrate
Differenzenquotient\[ m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b} \]
Frage: Wie verändern sich die Funktionswerte in einem bestimmten Intervall \([a; b]\)?
Der Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante durch \(P(a\mid f(a))\) und \(Q(b\mid f(b))\).
GeoGebra · Mittlere ÄnderungsrateSekante, Δx und Δy sind separat eingezeichnet
\(a\)
\(b\)
m = Δy / Δx